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Un Docteur décrit un procédé utilisé par un shaman pour faire une multiplication
Peut-il être considéré comme un algorithme mathématique ?

Le , par Stéphane le calme

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6  1 
« Engines of Our Ingenuity » est une émission radio régulièrement diffusée sur la National Public Radio (USA). Mise en scène et présentée par le Docteur John Lienhard de l'Université de Houston assisté par d'autres collègues, l'émission espère raconter la naissance et l'évolution de la culture dans la créativité humaine.

Dans son épisode 504 intitulé « Ethiopian binary math », un fermier de l'Ethiopie des années 1940 est confronté à un problème d'arithmétique : il doit vendre 34 chèvres à raison de 7 dollars l'unité. Le problème ? La multiplication est, à cette époque, inconnue dans le village. D'un pas résolu, il se décide à aller voir le chaman, le « sage » du village pour lui demander de fixer un prix de vente équitable pour l'ensemble du troupeau.

Le « sage » a alors creusé deux rangées de petits trous dans la terre. Dans la rangée de gauche, il a rempli le premier trou de 34 cailloux qui représentent chacune des 34 chèvres. Dans le suivant il en met la moitié (ou 17), dans le suivant il en met la moitié (ou 8) et il répète l'opération jusqu'à ce qu'il ne reste plus qu'un seul caillou dans le sixième trou.

Par la suite il se rend sur l'autre rangée et dans le premier trou il dépose 7 cailloux représentatifs de la valeur d'une chèvre. Il en met le double (ou 14) dans le prochain et il continue l'opération jusqu'au sixième trou où il obtient 224 cailloux.

Pour trouver une réponse à apporter au fermier, voici le procédé qu'il a utilisé. Il considère une rangée de pierres comme un couple ; si le premier nombre est pair, il ramène la valeur de la rangée à 0, à contrario si il est impair, il garde la valeur du second nombre. Voici ce qu'il obtient :

  • première rangée (34 , 7) premier nombre pair, valeur 0 ;
  • seconde rangée (17 , 14) premier nombre impair, valeur 14 ;
  • troisième rangée (8 , 28) premier nombre pair, valeur 0 ;
  • quatrième rangée (4, 56) premier nombre pair, valeur 0 ;
  • cinquième rangée (2, 112) premier nombre pair, valeur 0 ;
  • sixième rangée (1, 224) premier nombre impair, valeur 224.


Par la suite il n'a plus qu'à additionner les valeurs des rangées soit 0 + 14 + 0 + 0 + 0 + 224 ce qui lui donne un résultat de 238 qui correspond au nombre que nous aurions obtenu en faisant l'opération 34 x 7.

Source : Engines of Our Ingenuity (audio)

Et vous ?

Son procédé est-il vérifié ? Aurions-nous obtenu un résultat différent avec d'autres nombres ?

Pouvez-vous expliquer ce procédé ?

Peut-on considérer sa méthode comme un algorithme ?

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Avatar de souviron34
Expert éminent sénior https://www.developpez.com
Le 09/10/2013 à 16:09
Citation Envoyé par FrankieSong Voir le message
l
La méthode est tout sauf tordue.
Elle est belle, mathématiquement belle. merci!


Je t'ai mis un +1, ce qui de ma part est rare dans cette section

C'est comme les bouliers, et toutes les techniques "d'avant"..

Et en fait, ce qui m'épate - et me désespère - le plus, c'est cette condescendance par rapport à ce qui se faisait avant, et cette croyance d'être "supérieurs" à cause d'une technique ou d'une technologie...

Les chamans, qu'ils soient Africains, Aborigènes d'Australie, Sibériens, Amérindiens, Indiens, Chnois, ou de n'importe où, ont une énorme connaissance, souvent complémentaire mais pas que, des sciences et techniques occidentales..

Mais, au delà des chamans, l'espèce de mépris envers les connaissances d'avant, alors que la majorité des éleveurs d'il y a 200 ans étairtn plus doués en calcul que la majeure partie des éudiants d'aujourd'hui, me laisse perplexe et parfois pessimiste sur l"volution d'une société qui ne réconnait pas l"héritage colossal et la connaissance accumulée par des générations ne disposant pas des outils actuels...

Les architectes de Notre-Dame, du Pont Du Gard, du Colisée, des Pyramides Egyptiennes, du Macchu Picchu, étaient certainement bien meilleurs que ceux 'aujourd"hui, leurs constructions tiennent depuis plus de mille ans..Donc leurs calculs étaient vraiment pas mauvais, hein ?
9  0 
Avatar de plegat
Expert éminent https://www.developpez.com
Le 09/10/2013 à 13:10
Citation Envoyé par ze@rnal Voir le message
Et s'il y a 33 ou 35 chèvres la méthode ne marche pas.
Ben si, ça marche aussi avec 33 chèvres... et même avec 35... et heureusement d'ailleurs!

33/7/7-16/14/0-8/28/0-4/56/0-2/112/0-1/224/224, ça fait 7+224=231, soit 33*7

Citation Envoyé par Stéphane le calme Voir le message

Son procédé est-il vérifié ? Aurions-nous obtenu un résultat différent avec d'autres nombres ?
Le procédé se base sur le fait que tout nombre peut s'écrire sous la forme 2*n+k, et sur l'associativité de la multiplication qui dit que (2*a)*b=a*(2*b)

Citation Envoyé par Stéphane le calme Voir le message

Pouvez-vous expliquer ce procédé ?
Ouaip:

On a un nombre X1=2*n1+k1, que l'on veut multiplier par Y1
Si X1 est pair, k1=0, on passe au step suivant
Si X1 est impair, on a k1=1. On met k1*Y1 de côté et on passe au step suivant
Le step suivant revient à calculer ce qu'il reste, soit (2*n1)*Y1... autrement dit n1*(2*Y1), écrit autrement X2*Y2... tiens, ça ressemble à notre expression du début, y'a qu'à itérer!
Au final, on additionne tous les ki*Yi non nuls pour avoir le total.

Citation Envoyé par Stéphane le calme Voir le message

Peut-on considérer sa méthode comme un algorithme ?
D'après wikipedia:

Un algorithme est une suite finie et non ambiguë d’opérations ou d'instructions permettant de résoudre un problème.
Je crois que la réponse est oui, non?
D'ailleurs c'est la façon de réfléchir d'un ordinateur, quand on décompose les nombres en binaire (appliquer l'algo avec 7*1: 7 ce n'est jamais qu'un tas avec un caillou, un tas avec deux cailloux, et un tas avec 4 cailloux...)

Voir aussi ça pour ceux qui n'ont pas l'audio.

Après, c'est pas parce que le chaman sait compter et que le fermier ne sait pas que c'est forcément de la magie!
8  0 
Avatar de souviron34
Expert éminent sénior https://www.developpez.com
Le 09/10/2013 à 13:43
Citation Envoyé par plegat Voir le message
même si à la base ça utilisait des petits tas de cailloux!

Un jour, un vieux professeur de l'École nationale d'administration
publique (ENAP) fut engagé pour donner une formation sur la
planification efficace de son temps à un groupe d'une quinzaine de
dirigeants de grosses compagnies nord-américaines. Ce cours constituait
l'un des cinq ateliers de leur journée de formation. Le vieux prof
n'avait donc qu'une heure pour "passer sa matière".

Debout, devant ce groupe d'élite (qui était prêt a noter tout ce que
l'expert allait enseigner), le vieux prof les regarda un par un,
lentement, puis leur dit : "Nous allons réaliser une expérience".

De sous la table qui le séparait de ses élèves, le vieux prof sortit
un immense pot Masson d'un gallon (pot de verre de plus de 4 litres)
qu'il posa délicatement en face de lui. Ensuite, il sortit environ une
douzaine de cailloux a peu près gros comme des balles de tennis et les
plaça délicatement, un par un, dans le grand pot.
Lorsque le pot fut rempli jusqu'au bord et qu'il fut impossible d'y
ajouter un caillou de plus, il leva lentement les yeux vers ses élevés
et leur demanda : "Est-ce que ce pot est plein?". Tous répondirent :
"Oui". Il attendit quelques secondes et ajouta : "Vraiment?".

Alors, il se pencha de nouveau et sortit de sous la table un
Récipient rempli de gravier. Avec minutie, il versa ce gravier sur les gros
cailloux, puis remua légèrement le pot. Les morceaux de gravier
s'infiltrèrent entre les cailloux... jusqu'au fond du pot.
Le vieux prof leva a nouveau les yeux vers son auditoire et
redemanda: "Est-ce que ce pot est plein?". Cette fois, ses brillants élèves
commençaient à comprendre son manège. L'un d'eux répondit :"Probablement pas!". "Bien!" répondit le vieux prof.

Il se pencha de nouveau et cette fois, sortit de sous la table un
Seau de sable. Avec attention, il versa le sable dans le pot. Le
sable alla remplir les espaces entre les gros cailloux et le gravier.
Encore une fois, il demanda :"Est-ce que ce pot est plein?". Cette fois, sans
hésiter et en chœur, les brillants élèves répondirent :"Non!".
"Bien!" répondit le vieux prof.

Et comme s'y attendaient ses prestigieux élèves, il prit le pichet
d'eau qui était sur la table et remplit le pot jusqu'à ras bord. Le vieux
prof leva alors les yeux vers son groupe et demanda :"Quelle grande
vérité nous démontre cette expérience?"

Pas fou, le plus audacieux des élèves, songeant au sujet de ce
cours, répondit :"Cela démontre que même lorsque l'on croit que notre
agenda est complètement rempli, si on le veut vraiment, on peut y ajouter
plus de rendez-vous, plus de choses à faire".

"Non" répondit le vieux prof. "Ce n'est pas cela. La grande vérité
que nous démontre cette expérience est la suivante : si on ne met pas
les gros cailloux en premier dans le pot, on ne pourra jamais les faire
entrer tous, ensuite".

Il y eut un profond silence, chacun prenant conscience de l'évidence
de ces propos.

Le vieux prof leur dit alors : "Quels sont les gros cailloux dans
Votre vie?" "Votre santé?" "Votre famille?" "Vos ami(e)s?" "Réaliser vos
rêves?" "Faire ce que vous aimez?" "Apprendre?" "Défendre une cause?"
"Relaxer?" "Prendre le temps...?" "Ou... toute autre chose?"
"Ce qu'il faut retenir, c'est l'importance de mettre ses GROS
CAILLOUX en premier dans sa vie, sinon on risque de ne pas réussir...sa vie.
Si on donne priorité aux peccadilles (le gravier, le sable), on
remplira sa vie de peccadilles et on n'aura plus suffisamment de temps précieux
a consacrer aux éléments importants de sa vie.
Alors, n'oubliez pas de vous poser a vous-même la question : "Quels
sont les GROS CAILLOUX dans ma vie?" Ensuite, mettez-les en premier dans
votre pot (vie)"

D'un geste amical de la main, le vieux professeur salua son
auditoire et lentement quitta la salle.
5  0 
Avatar de Uranne-jimmy
Membre expérimenté https://www.developpez.com
Le 09/10/2013 à 12:02
C'est peut être une réflexion bête hein, mais si il est capable d'en mettre le double ou la moitié, il peut pas simplement comprendre le principe de division et multiplication ? étaler 34 trou et mettre dans chaque trou le prix d'une bête ?
4  0 
Avatar de FrankieSong
Futur Membre du Club https://www.developpez.com
Le 09/10/2013 à 15:33
le chaman considère l'ensemble des 34 chèvres à vendre
le prix total à percevoir par le fellah dépend du prix
qu'il va fixer pour une chèvre...

---o---o---o---o---o---o---o---o---o---parenthèse

Je reconstitue "un peu" le contexte "de l'époque":

( c'est normal, de pas savoir compter à cette époque, et c'est normal de s'adresser au chaman
( dans les temps anciens, les "sciences" n'existent pas sans l'homme
( les maths la philo, les savoir-faire sont liés et reposent dans l'esprit d'un homme
( qui est encore assez grand pour contenir tout ce qui est possible de savoir de son époque.
( il est assez bien nourrit pour être délivré du stress de chercher sa pitance lui-même
( il est en capacité d'avoir observé autre chose que le monde pour (sur)vivre.
( le chaman est en retrait, et cela lui donne une position d'abstraction humaine:
( et son esprit --entier dans son corps sans carence-- sans se torturer va reproduire
( la capacité d'abstraction dans des schémas nouveaux, voire des algorithmes...
( le chaman est utile, mentalement, philosophiquement, et astucieusement aux autres
( de la tribus : plus dur encore: il a l'obligation d'être utile par tout les moyens autres:
( moyens autres, car tous les autres sont dans la nécessité de la survivance et la lutte.
( Lui est à suffisance et intellectuellement il est vivant comme les autres chamans,
( qui se considèrent comme des hommes vrais --ainsi que les busch men d'Australie--
( avec leur conception des profondeurs du temps vécu des humains, qu'ils nomment
( "le temps du rêve" --
( Le chaman voit la profondeur --y compris celle de l'ennui des hommes-- les hommes ordinaires
( voient "seulement l'instant présent" et ne sondent pas la "profondeur" du Chaman...

---o---o---o---o---o---o---o---o---fin de parenthèse

Le chaman va avec son recul: être comptable comme cela:
34 chèvres un prix 7
il utilise la table de multiplication par deux
pour calculer l'entier de ( N / 2 )
jusqu'à 1
34 / 2 = 17 Pair 0 on prendra pas le produit
17 / 2 = 8 (8*2+1) Impair 1 prendre le produit
8 / 2 = 4 Pair 0 on prendra pas le produit
4 / 2 = 2 Pair 0 on prendra pas le produit
2 / 2 = 1 Impair 1 prendre le produit

en parallèle à la colonne de division par 2
le chaman fait le produit par deux du prix (et) par --le niveau binaire--

34 1x7 7 laisser
17 2x7 14 à prendre... dans l'addition + 14
8 4x7 28 laisser
4 8x7 56 laisser
2 16x7 112 laisser
1 32x7 224 à prendre... dans l'addition + 224
-------------------------------------
Total des rangs impairs = 238

Effectivement 34 x 7 = 238, mais ce n'est pas le plus important.

Il faut voir -- avec les yeux de notre époque -- que la division
par deux est le procédé qui permet de décomposer tout nombre en
la suite de sous valeurs demi-entières paires ou impaires
et qu'en filigrane les puissances de 2 apparaissent

2^0 = 1 rang 0
2^1 = 2 rang 1
...
ici jusqu'au rang 6 2^6=32 rang 6

les rang binaires qui passent à 1 sont les rangs impairs
on écrirait aujourd'hui : en les lisant de bas en haut

1 0 0 0 1 0 soit

(0*1) + (1*2) + (0*4) + (0*8) + (0*16) + (1*32)
0 + 2 + 0 + 0 + 0 + 32 = 34 (unité chèvres)


( Le chaman fait du binaire sans le savoir
( --au mieux il pressent l'existence de la décomposition binaire d'un nombre--
( sans avoir de preuve pour lui-même que celle-ci est unique et propre à chaque nombre...

Le prix comptabilisé est le bon car il calcule
( 34 x 7 ) + ( 2 x 7 ) = ( 34 + 2 ) * 7
ce qui est en maths actuels l'associativité de la multiplication par rapport à l'addition.


Le procédé est bel et bien un algorithme: ***
il fonctionne quel que soit le nombre d'objets
considérés comme unité (ici chèvre) et l'autre facteur (prix) qui est rendu
additif par l'association opératoire avec les rangs binaires
(0,1)<==>(non, oui)<==>(non ajouté, ajouté)
la table de multiplication par 2 correspond à l'application de l'axiome du choix.
Choix représenté par les deux symboles binaires (n'existe pas/existe)<-->(0,1),
et la table de multiplication opère l'axiome celui du tiers exclu qui sous-tend et démontre le caractère unique de la décomposition binaire d'un nombre.

Le Chaman à raison d’être juste et bon comptable;
aussi le fellah à la chance et le respect de s'adresser à un sage.

*** Nous devons respecter l'effort des anciens et ne pas juger trop vite leur niveau de connaissance, justement en classant leur procédés par niveaux, ni leur attribuer des notes de mérite...

qui à dit : "Et s'il y a 33 ou 35 chèvres la méthode ne marche pas.
Ce n'est donc pas un algorithme, ou alors il est incomplet."

est superficiel et n'a pas approfondi : son regard.

Le fait que le Chaman trace au sol est simple et suffisant pour une affaire terrestre.
Il aura fréquenté des abstractions plus fortes et subtiles qu'il aura consignées plus artistiquement sur des tablettes d'argile (terre+eau)+cuisson par le feu
pour constituer une brique de savoir plus solide et propre à résister au temps... Sinon ne l'aura pas fait cuire et laissé comme tablette de terre crue... dont peu nous sont parvenues au travers des âges. Dommage.

qui à dit : Bon même si je suis septique, l'approche reste ingénieuse,
et tant que chaman, j'aurais moi aussi utilisé des méthodes
tordues pour que mes péons ne puissent pas se passer de moi.

se trompe d'époque et n'est pas bien complaisant avec lui-même.

Le péon est le mot qui désigne l'ouvrier et la subordination au patron
ou au contremaître dans le monde industriel des années 1850 - 1950 en Angleterre.
Ici, il n'y à pas de lien de subordination, mais un respect mutuel, le fellah apporte et paye en nature avec ce qu'il sait extraire avec ses forces de la nature, en contrepartie de l'apport immatériel que lui procure le Chaman.
Le Chaman reste silencieux et ne dit rien que le résultat utile,
sans forfanterie ni artifice technique, ni oratoire prétentieux.
Il reste au sol et montre tout : l'initié comprendra et suivra...
Les autres se contenterons du résultat... et seront très content à défaut d'être comptant.
Le Chaman donne un leçon de simplicité et d'humilité. Le fellah n'achète rien.
Son besoin de sécuriser sa vente dépend du respect qu'il porte au chaman.
Le fellah n'est pas un ouvrier (péon), c'est déjà un chef d'entreprise.
Pas indépendant, mais un entrepreneur malgré tout.

La méthode est tout sauf tordue.
Elle est belle, mathématiquement belle. merci!
4  0 
Avatar de Juda-Priest
Membre actif https://www.developpez.com
Le 09/10/2013 à 12:42
Hmmm... La multiplication n'est qu'un raccourci pour une grande addition d'un même chiffre (ou nombre).

Il arrive à additionner 14 + 224, donc la méthode de Uranne-jimmy aurait du la plus que probable pour une première approche.

Citation Envoyé par Uranne-jimmy Voir le message
C'est peut être une réflexion bête hein, mais si il est capable d'en mettre le double ou la moitié, il peut pas simplement comprendre le principe de division et multiplication ? étaler 34 trou et mettre dans chaque trou le prix d'une bête ?
Bon même si je suis septique, l'approche reste ingénieuse, et tant que Shaman, j'aurais moi aussi utiliser des méthodes tordus pour que ses péons ne puissent pas se passer de moi o/
3  0 
Avatar de souviron34
Expert éminent sénior https://www.developpez.com
Le 09/10/2013 à 13:13
Citation Envoyé par Stéphane le calme Voir le message
Et si avant l'homme utilisait déjà des algorithmes mathématiques ?
Peut-on considérer sa méthode comme un algorithme ?

Euh... En quoi est-ce une grande nouvelle ????

Depuis l'Antiquité ça existe...

Académie de Paris : Tableur en 3eme : La légende de l'échiquier

D'après ceci, en 620 après JC.

Mais les Contes des Milles Et Une Nuits le mentionne également, des histoires chinoises aussi, de même que les Mayas, l'architecture des pyramides, la construction de la porte d'entrée de Babylone, etc....

Les ingénieurs chinois d'avant JC calculaient et faisaient des digues.
Les Romains faisaient des acqueducs sur plus de 400 km (le Pont du Gard, ou celui de la plaine du Pô)

Eratosthène, en -300, calcule le rayon de la Terre.

Et toute L'histoire de l'astronomie est là pour prouver que depuis au moins 8000 ans, on sait faire des mathématiques...

C'est quoi ce truc ??

Bien sûr que les mathématiques, les algorithmes, et de manière générale le raisonnement mathématique existe depuis des lustres, dans toutes les civilisations...
3  1 
Avatar de guidav
Membre éprouvé https://www.developpez.com
Le 09/10/2013 à 14:14
Existe aussi avec une bière à la place de l'eau, et la conclusion "aussi plein que soit votre emploi du temps, on peut toujours y trouver le temps de boire une bière".
Citation Envoyé par souviron34 Voir le message
2  0 
Avatar de mounaim198
Candidat au Club https://www.developpez.com
Le 09/10/2013 à 15:47
C'est une technique existante depuis l'antiquité, qui s'appelle Technique de multiplication à la russe, qui est une variante d'une ancienne technique égyptienne, pour plus d'infos voir ici :
2  0 
Avatar de souviron34
Expert éminent sénior https://www.developpez.com
Le 18/10/2013 à 15:17
Comme je l'avais dit dans mon premier post, ce truc est qquelque chose d'idiot, et où tous les dejunzs s'engouffrent en pensant avoir re-découvert la fil à couper le beurre... (suffit de voir le nombre des posts des intervenants !!! Sans doute un prof qui leur en parlé)

Aucun intérêt..

Je pense qu'on devrait fermer ce topic...
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